正交多项式的半经典渐近、Riemann–Hilbert 问题与矩阵模型中的普适性

我们推导了直线上带指数权 \exp(-NV(z)) 的正交多项式 P_n(z) 的半经典渐近，其中 V(z) 是一个双阱四次多项式，在 n, N \to \infty 的极限下。我们假设对某个 \epsilon > 0 有 \epsilon \le (n/N) \le \lambda_{cr} - \epsilon，其中 \lambda_{cr} 是使具两割集的正交多项式与具一割集者分离的开临界值。同时我们推导了正交多项式递推系数的半经典渐近，并表明这些系数构成一个周期为二的循环，且随比值 n/N 的变化而缓慢漂移。半经典渐近的证明基于可积系统理论的方法以及对相应矩阵 Riemann–Hilbert 问题的分析。作为正交多项式半经典渐近的应用，我们证明了在双阱四次相互作用的矩阵模型中，存在两割集时本征值局部分布的普适性。