关于单位圆上具有代数奇点的解析权函数的正交多项式的渐近性

在单位圆上关于形如 $$W(z) = w(z) \prod_{k=1}^m |z-a_k|^{2\beta_k}, \quad |z|=1, \quad |a_k|=1, \quad \beta_k>-1/2, \quad k=1, ..., m,$$ 的权函数正交的多项式的强渐近性,其中 $w(z)>0$ 对 $|z|=1$ 成立,且可延拓为包含单位圆的环形区域上的全纯非零函数。所得公式在整个复平面上一致有效。作为推论,我们得到了关于这些多项式零点分布、其首项系数与 Verblunsky 系数的行为的一些结果,并给出了此类权函数下 Toeplitz 行列式的 Fisher-Hartwig 猜想渐近性的另一种证明。主要技术是 Deift 与 Zhou 的 steepest descent 分析,其基于 Fokas、Its 与 Kitaev 提出的矩阵 Riemann-Hilbert 刻画。