[-1,1] 上正交多项式强渐近的 Riemann-Hilbert 方法

我们考虑在 $[-1,1]$ 上关于修正 Jacobi 权 $(1-x)^\alpha (1+x)^\beta h(x)$ 正交的多项式，其中 $\alpha,\beta>-1$ 且 $h$ 在 $[-1,1]$ 上实解析且严格正。我们得到了首一与标准正交多项式在 $[-1,1]$ 外的完全渐近展开、递推系数以及标准正交多项式首项系数的完全渐近展开。我们还推导出 Hankel 行列式的渐近行为。在渐近分析中，我们使用了 Deift 与 Zhou 发展的、并由 Deift、Kriecherbauer、McLaughlin、Venakides 和 Zhou 应用于实线上正交多项式的 Riemann–Hilbert 问题的陡降法。在陡降法中，我们将使用与权相关的 Szegő 函数，而对于端点 $\pm 1$ 附近的局部分析，我们使用适当阶的 Bessel 函数，而 Deift 等人使用的是 Airy 函数。