关于 Bessel 函数正交多项式的渐近行为与零点分布

我们考虑在 $[0,\infty)$ 上关于权重 $J_{\nu}$ 正交的多项式 $P_n$，其中 $J_{\nu}$ 是阶数为 $\nu$ 的 Bessel 函数。Asheim 和 Huybrechs 在振荡积分的复 Gauss 求积背景下研究了这些多项式。他们观察到零点是复数的，并且当 $n \to \infty$ 时在垂直线 $\textrm{Re}\, z = \frac{\nu \pi}{2}$ 附近聚集。我们利用为复平面上的多项式 $P_n$ 推导出的强渐近公式，证明了 $0 \leq \nu \leq 1/2$ 情形下的这一事实。我们的主要工具是正交多项式的 Riemann-Hilbert 问题，该问题经过适当修改以涵盖当前情况，以及 Deift-Zhou 最速下降法。工作的主要部分致力于构造原点处的局部参数阵（local parametrix），为此我们给出了一个仅适用于 $\nu \leq 1/2$ 的存在性证明。