一类平面正交多项式与截断酉矩阵的渐近分析

我们对一类正交多项式 $p_{n}(z)$ 的度为 $n$ 的渐近行为进行分析，其相对于平面测度 \begin{equation*} d\mu(z) = (1-|z|^{2})^{\alpha-1}|z-x|^{\gamma}\mathbf{1}_{|z| < 1}d^{2}z, \end{equation*} 其中 $d^{2}z$ 为二维面积测度，$\alpha$ 为可随 $n$ 增长的参数，而 $\gamma>-2$ 和 $x>0$ 为固定常数。该测度自然出现在非厄米集团的特征多项式研究中，并推广了最近几位作者所研究的高斯权重示例。我们获得复平面所有区域的渐近结果，并通过适当的微分恒等式获得分区函数的渐近展开。主要方法是将平面正交性转化为在复平面上合适 contours 上的正交性。随后使用与相关黎曼-Hilbert问题关联的 Deift-Zhou 陡峭 descent 方法进行渐近分析。