Jacobi 型正交多项式渐近展开的构造与实现

我们关注广义 Jacobi 型正交多项式当其次数 $n$ 趋于 $\infty$ 时的渐近行为。这些多项式定义在区间 $[-1,1]$ 上，权函数为 $w(x)=(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}h(x)$，其中 $\alpha,\beta>-1$，且 $h(x)$ 是在 $[-1,1]$ 上的实解析严格正函数。该信息可见于 Kuijlaars、McLaughlin、Van Assche 和 Vanlessen 的工作，作者使用了 Riemann--Hilbert 表述和 Deift--Zhou 非线性最速下降法。我们展示了高阶项的计算可被简化，从而实现其高效构造。所得复平面各区域内的渐近展开在符号和数值上均被实现，代码已公开可用。这些展开的主要优势在于，随着多项式次数的增加，精度不断提高，而计算代价实际上与次数无关。相反，计算中通常使用的正交多项式递推关系会导致至少与次数成线性的代价。此外，这些展开可用于以 $\mathcal{O}(n)$ 操作计算高斯求积规则，而非基于递推关系的 $\mathcal{O}(n^2)$。