无Carleman条件下正交多项式的渐近行为

我们的目标是对由Jacobi递推系数 $a_{n}, b_{n}$ 定义的正交多项式 $P_{n}(z)$ 找到当 $n\to\infty$ 时的渐近行为。我们假定非对角系数 $a_{n}$ 增长极快，使得级数 $\sum a_{n}^{-1}$ 收敛，即Carleman条件被破坏。对于对角系数 $b_{n}$，我们假设 $-b_{n} (a_{n}a_{n-1})^{-1/2}\to 2\beta_{\infty}$ 对某个 $\beta_{\infty}\neq \pm 1$ 成立。所得到的 $P_{n}(z)$ 的渐近公式与满足Carleman条件的情形 $\sum a_{n}^{-1}=\infty$ 截然不同。特别地，若 $\sum a_{n}^{-1}<\infty$，则这些公式中的相位因子不依赖于谱参数 $z\in{\Bbb C}$。在 $|\beta_{\infty}|<1$ 与 $|\beta_{\infty}|>1$ 情形下得到的渐近公式彼此也具有定性差异。作为这些结果的应用，我们找到了相应极小Jacobi算子的本质自伴性的充要条件。