Jacobi算子的谱分析与正交多项式的渐近行为

我们给出并讨论了具有递推系数 $a_{n}, b_{n}$ 的标准正交多项式 $P_{n}(z)$ 的渐近公式。我们的主要目标是考虑非对角元 $a_{n}\to\infty$（当 $n\to\infty$ 时）的情形。所得公式在对角元 $b_{n}$ 相对较小和较大时有本质不同。我们的分析与具有系数 $a_{n}, b_{n}$ 的Jacobi算子 $J$ 的谱理论以及相应二阶差分方程的研究密切相关。我们通过 $n\to\infty$ 时的条件引入此类方程的Jost解 $f_{n}(z)$, $n\geq -1$，并给出起薛定谔方程半经典Liouville-Green Ansatz 作用的它们的Ansatz。这使我们能用为微分方程发展的谱理论传统方法研究Jacobi算子及其本征函数 $P_{n}(z)$ 的谱结构。特别地，我们将 $P_{n}(z)$ 当 $n \to\infty$ 时渐近公式中的所有系数用解 $P_{n} (z)$ 与 $f_{n} (z)$ 的Wronskian表示。所得 $P_{n}(z)$ 的公式推广了经典Hermite多项式（其中 $a_{n}=\sqrt{(n+1)/2}$, $b_{n}=0$）的渐近公式。