关于首参数变化的雅可比多项式的渐近行为

我们研究具有变化参数的雅可比多项式$P_{n}^{(an+\alpha,\,bn+\beta)}(1-2\lambda^{2})$对于$a,b >-1$和$\lambda\in(0,\,1)$的大$n$行为。这是文献中已被充分研究的课题，但一些已发表的结果似乎不一致。为解决这个问题，我们提供对$b = 0$情形的深入探究，这与我们的应用最相关。我们的方法基于$P_{n}^{(an+\alpha,\,\beta)}(1-2\lambda^{2}),\:a>-1$的一个新的且令人惊讶的简单表示，用两个积分表达。积分的渐近行为使用渐近分析的标准工具研究：一个是拉普拉斯积分，另一个通过驻相法处理。结果我们证明若$a\in(\frac{2\lambda}{1-\lambda},\infty)$则$\lambda^{an}P_{n}^{(an+\alpha,\beta)}(1-2\lambda^{2})$呈现指数衰减，并且我们在该区域导出简单的指数上界。若$a\in(\frac{-2\lambda}{1+\lambda},\,\frac{2\lambda}{1-\lambda})$则$\lambda^{an}P_{n}^{(an+\alpha,\beta)}(1-2\lambda^{2})$的衰减为$\mathcal{O}(n^{-1/2})$，若$a\in\{\frac{-2\lambda}{1+\lambda},\,\frac{2\lambda}{1-\lambda}\}$则$\lambda^{an}P_{n}^{(an+\alpha,\beta)}(1-2\lambda^{2})$以$\mathcal{O}(n^{-1/3})$衰减。在参数范围$a\in(-1,\frac{-2\lambda}{1+\lambda})$出现新现象，我们发现其行为取决于$an+\alpha$是否为整数：若$a\in(-1,\frac{-2\lambda}{1+\lambda})$且$an+\alpha$为整数，则$\lambda^{an}P_{n}^{(an+\alpha,\beta)}(1-2\lambda^{2})$指数衰减。若$a\in(-1,\frac{-2\lambda}{1+\lambda})$且$an+\alpha$不为整数，则$\lambda^{an}P_{n}^{(an+\alpha,\beta)}(1-2\lambda^{2})$可能根据序列$(an + \alpha)_n$接近整数的程度而指数增长。