非标准参数下大 $-1$ Jacobi 多项式的正交性

大 $-1$ Jacobi 多项式 $(Q_n^{(0)}(x;\alpha,\beta,c))_n$ 经典上定义于 $\alpha,\beta\in(-1,\infty)$, $c\in(-1,1)$。我们将该族推广至允许更宽的参数集,即非标准参数。假设初值条件 $Q^{(0)}_0(x)=1$, $Q^{(0)}_{-1}(x)=0$,我们将大 $-1$ Jacobi 多项式视为首一正交多项式,从而满足如下三项递推关系 $$xQ^{(0)}_n(x)=Q^{(0)}_{n+1}(x)+b_{n} Q^{(0)}_n(x)+ u_{n} Q^{(0)}_{n-1}(x), \quad n=0, 1, 2,\ldots.$$ 对于标准参数,系数 $u_n>0$ 对所有 $n$ 成立。我们讨论了对某些满足 $u_n=0$ 的正整数 $n$,Favard 定理无法直接适用的情况。我们将非标准参数下的大 $-1$ Jacobi 多项式表示为两个多项式的乘积。利用该因式分解,我们得到了这些多项式在其下正交的双线性形式。