拟正交雅可比多项式的零点

我们考虑由 $\alpha>-1$、$-2<\beta<-1$ 刻画的拟正交序列中雅可比多项式零点所满足的交错性质。我们给出了使 Askey 猜想成立的充要条件，该猜想认为当参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 $\alpha>-1$ 与 $-2<\beta<-1$ 范围内时，雅可比多项式 $P_n^{(\alpha, \beta)}$ 与 $P_{n}^{(\alpha,\beta+2)}$ 的零点交错。我们证明了对于任意 $n\in\mathbb{N}$、$n\geq2$ 以及任意固定的满足 $\alpha>-1$、$-2<\beta<-1$ 的 $\alpha$、$\beta$，$P_n^{(\alpha, \beta)}$ 与 $P_{n+1}^{(\alpha,\beta)}$ 的零点不交错。对于该范围内的 $\alpha$ 和 $\beta$ 以及 $t\geq 1$，我们讨论了 $P_n^{(\alpha,\beta)}$ 与 $P_m^{(\alpha,\beta+t)}$（$m,n\in\mathbb{N}$）的零点交错性，并推导了小于 $-1$ 的 $P_n^{(\alpha,\beta)}$ 零点的新上下界。