Jacobi 多项式与超球多项式的零点

设 $\{P_{n}^{(\alpha, \beta)}(x)\}_{n=0}^\infty$ 是 Jacobi 多项式序列，其中 $\alpha, \beta >-1.$ 我们讨论 Alan Sokal 在 2019 年 OPSFA 上提出的一个问题的特例，即若 $s,t >0$ 且 $k \in \mathbb{N}$，则 $P_{n}^{(\alpha,\beta)}(x)$ 与 $P_{n+k}^{(\alpha + t, \beta + s )}(x)$ 的零点是否交错。我们考虑该问题在相邻次数 Jacobi 多项式上的两种情况，并证明 $P_{n}^{(\alpha,\beta)}(x)$ 与 $P_{n+1}^{(\alpha, \beta + 1 )}(x)$（$\alpha > -1, \beta > 0,$ $n \in \mathbb{N}$）的零点部分交错，但一般而言不完全交错，取决于 $\alpha, \beta$ 和 $n$ 的值。对于 $P_{n}^{(\alpha,\beta)}(x)$ 与 $P_{n+1}^{(\alpha + 1, \beta + 1 )}(x)$（$\alpha >-1, \beta > -1$）零点之间的交错程度，有类似结果。已知同次 Jacobi 多项式 $P_{n}^{(\alpha,\beta)}(x)$ 与 $P_{n}^{(\alpha - t, \beta + s )}(x)$ 在 $\alpha -t > -1, \beta > -1,$ $0 \leq t,s \leq 2$ 时零点交错。我们证明当 $\alpha > -1, \beta > -1$ 时，$P_{n}^{(\alpha,\beta)}(x)$ 与 $P_{n}^{(\alpha + 1, \beta + 1 )}(x)$ 的零点之间成立部分但一般而言非完全的交错。我们提供数值例子确认我们所证结果一般而言不能加强。也考虑了 Jacobi 多项式的对称情形 $\alpha = \beta = \lambda -1/2$。我们证明超球多项式 $C_{n}^{(\lambda)}(x)$ 与 $C_{n + 1}^{(\lambda +1)}(x)$（$\lambda > -1/2$）的零点部分但一般而言不完全交错。同次超球多项式 $C_{n}^{(\lambda)}(x)$ 与 $C_{n}^{(\lambda +3)}(x)$（$\lambda > -1/2$）零点的交错也有讨论。