Jacobi 与广义 Chebyshev 多项式的非负及严格正线性化

在正交多项式理论及其与调和分析的交叉中，判定给定正交多项式序列 $(P_n(x))_{n\in\mathbb{N}_0}$ 是否满足乘积的非负线性化——即任意两个 $P_m(x),P_n(x)$ 之积是多项式 $P_{|m-n|}(x),\ldots,P_{m+n}(x)$ 的锥组合——是一个重要问题。由于所出现展开式中的系数常结构繁琐或无法显式给出，此类考量通常非常困难。1970 年，G. Gasper 确定了所有满足对应 Jacobi 多项式 $(R_n^{(\alpha,\beta)}(x))_{n\in\mathbb{N}_0}$（按 $R_n^{(\alpha,\beta)}(1)\equiv1$ 归一化）具有乘积非负线性化的参数对 $(\alpha,\beta)\in(-1,\infty)^2$ 的集合 $V$。2005 年，R. Szwarc 要求解决广义 Chebyshev 多项式 $(T_n^{(\alpha,\beta)}(x))_{n\in\mathbb{N}_0}$ 的类似问题，其为 Jacobi 多项式的二次变换，且关于测度 $(1-x^2)^{\alpha}|x|^{2\beta+1}\chi_{(-1,1)}(x)\,\mathrm{d}x$ 正交。本文给出该问题的解，并证明 $(T_n^{(\alpha,\beta)}(x))_{n\in\mathbb{N}_0}$ 满足乘积非负线性化当且仅当 $(\alpha,\beta)\in V$，故广义 Chebyshev 多项式与 Jacobi 多项式共有此性质。此外，我们重新考察 Jacobi 多项式本身，简化了 Gasper 的原始证明，并刻画了线性化系数的严格正性。我们的结果也可视为对 Gasper 结果的 sharpenings（ sharpening：强化）。