从切比雪夫多项式到拉盖尔多项式的图兰不等式

设 $g$ 和 $h$ 为实值算术函数，为正且归一化。在如下递归定义多项式的一般格式中做出特定选择 \begin{equation*} P_n^{g,h}(x):= \frac{x}{h(n)} \sum_{k=1}^{n} g(k) \, P_{n-k}^{g,h}(x), \end{equation*} 初值 $P_{0}^{g,h}(x)=1$ 编码了若干经典且被广泛研究的多项式的信息。这包括第二类切比雪夫多项式、关联拉盖尔多项式，以及 Nekrasov--Okounkov 多项式。本文中我们证明，对于 $g(n)=n$ 且固定的 $h$，我们得到正定泛函的正交多项式序列。令 $h(n)=n^s$，其中 $0 \leq s \leq 1$。则该序列对 $x \geq 0$ 满足图兰不等式。