关于 Turán 的一个正弦多项式

1935 年，P. Turán 证明了 $$S_{n,a}(x)= \sum_{j=1}^n{n+a-j\choose n-j} \sin(jx)>0 \quad{(n,a\in\mathbf{N}; 0<x<\pi).}$$ 我们给出了各种相关的不等式。其中，我们证明了精细化 $$S_{2n-1,a}(x)\geq \sin(x) \quad\mbox{和} \quad{S_{2n,a}(x)\geq 2\sin(x)(1+\cos(x))}$$ 对所有整数 $n\geq 1$、实数 $a\geq 1$ 和 $x\in(0,\pi)$ 成立。此外，我们将关于正弦和式的定理应用于获得第二类切比雪夫多项式的不等式。