分拆函数的高阶Turán不等式

Turán不等式和高阶Turán不等式出现在Laguerre-Pólya类整函数的Maclaurin系数研究中。如果实数列{a_n}对于n≥1满足a_n^2 - a_{n-1}a_{n+1} ≥ 0，则称其满足Turán不等式。如果对于n≥1满足4(a_n^2 - a_{n-1}a_{n+1})(a_{n+1}^2 - a_n a_{n+2}) - (a_n a_{n+1} - a_{n-1}a_{n+2})^2 ≥ 0，则称其满足高阶Turán不等式。满足Turán不等式的数列也称为对数凹序列。对于分拆函数p(n)，DeSalvo和Pak证明了对于n>25，数列{p(n)}_{n>25}是对数凹的，即p(n)^2 - p(n-1)p(n+1) > 0对于n>25成立。Chen猜想p(n)对于n≥95满足高阶Turán不等式。在本文中，我们利用Hardy-Ramanujan-Rademacher公式推导p(n+1)p(n-1)/p(n)^2的上界和下界，证明了这一猜想。因此，对于n≥95，Jensen多项式g_{3,n-1}(x) = p(n-1) + 3p(n)x + 3p(n+1)x^2 + p(n+2)x^3仅有实零点。我们猜想对于任意正整数m≥4，存在整数N(m)使得对于n≥N(m)，多项式∑_{k=0}^m {m choose k} p(n+k) x^k仅有实零点。这一猜想由Ono独立提出。