平面分拆函数的高阶 Turán 不等式

本文研究关联于 MacMahon 平面分拆函数 $\mathrm{PL}(n)$ 的二重无穷 Jensen 多项式族 $J_{\mathrm{PL}}^{d,n}(x)$ 的根。近期，Ono、Pujahari 与 Rolen 证明了 $\mathrm{PL}(n)$ 对所有 $n\geq 12$ 是对数凹的，这等价于多项式 $J_{\mathrm{PL}}^{2,n}(x)$ 具有实根。此外，他们证明了对每个 $d\geq 2$，当 $n$ 足够大时 $J_{\mathrm{PL}}^{d,n}(x)$ 全为实根。本文使其结果有效化。即，若 $N_{\mathrm{PL}}(d)$ 是使对所有 $n\geq N_{\mathrm{PL}}(d)$ 均有 $J_{\mathrm{PL}}^{d,n}(x)$ 全为实根的最小整数，则我们证明 $$N_{\mathrm{PL}}(d)\leq 279928\cdot d(d-1)\cdot \left(6 d^3\cdot (22.2)^{\frac{3(d-1)}{2}}\right)^{2d} e^{\frac{\Gamma(2d^2)}{(2\pi)^{2d+2}}} .$$ 此外，利用导出上述不等式的思想，我们明确证明了 $N_{\mathrm{PL}}(3)=26, N_{\mathrm{PL}}(4)=46, N_{\mathrm{PL}}(5)=73, N_{\mathrm{PL}}(6)=102$ 与 $N_{\mathrm{PL}}(7)=136$。