多维划分数目的界估计

我们得到了数 $n$ 的 $(d-1)$ 维整数划分数 $p_d(n)$ 的估计。已知双向不等式 $C_1(d)n^{1-1/d}<\log p_d(n)< C_2(d)n^{1-1/d}$ 恒成立，且当 $\log n> 3d$ 时 $C_1(d)>1$。然而，确定 $C_2$ 对 $d$ 的“正确”依赖关系一直是个未解决问题。我们证明，若 $d$ 相对于 $n$ 足够小，则 $C_2$ 不依赖于 $d$，这意味着 $\log p_d(n)$ 在一个绝对常数意义下等于 $n^{1-1/d}$。此外，我们针对 $d$ 相对于 $n$ 的不同取值范围给出了 $p_d(n)$ 的估计，并由此得到每种情况下 $\log p_d(n)$ 的渐近性。