低维度的有限优势：当 $1-1/d$ 是 $d$ 维几何问题的最佳可能指数时

我们研究运行时间指数中包含 $1-1/d$ 的 $d$ 维几何问题，例如以 $2^{n^{1-1/d}}$ 或 $n^{k^{1-1/d}}$ 的形式。这意味着这些算法在低维下表现稍好，但对于所有较大的维度值 $d$，运行时间几乎相同。我们的主要结果是证明，在标准复杂性假设下，其中一些问题对 $1-1/d$ 的依赖是最佳的。我们证明，假设指数时间假设（Exponential Time Hypothesis），--- $n$ 个点上的 $d$ 维欧几里得 TSP 不能在时间 $2^{O(n^{1-1/d-\epsilon})}$ 内对任何 $\epsilon>0$ 求解，以及 --- 寻找 $k$ 个两两不相交的 $d$ 维单位球/轴平行单位立方体的问题不能在时间 $f(k)n^{o(k^{1-1/d})}$ 内对任何可计算函数 $f$ 求解。这些下界基本匹配了这些问题的已知算法。为了获得这些结果，我们首先证明了约束图是 $d$ 维网格的约束满足问题（Constraint Satisfaction Problems, CSPs）的复杂性下界。我们以一种便于将其作为特定 $d$ 维几何问题特定归约起点的方式陈述 CSP 的复杂性结果，以便在未来可重用于类似性质的进一步结果。