低维聚类的祸根

本文中，我们针对经典的 k-median 与 k-means 聚类目标（其中 n 为输入规模），即使在维度为四的低维欧氏空间中，基于指数时间假设（ETH）给出了运行时间 $n^{\Omega(k)}$ 的条件下界。我们还考虑了带惩罚的 k-median（与 k-means），其中每个点不必被指派到某个中心，此时须支付惩罚，并将下界推广至至少三维欧氏空间。这与许多其他几何问题（如旅行商问题或计算单位球独立集）形成鲜明对比。尽管这些问题得益于所谓的（有限）维度祝福，因它们可在 d 维中以时间 $n^{O(k^{1-1/d})}$ 或 $2^{n^{1-1/d}}$ 求解，我们的工作表明广泛使用的聚类目标具有 $n^{\Omega(k)}$ 的下界，即便在四维亦然。我们通过考察二维情形补全了图景：表明不存在能在少于 $n^{o(\sqrt{k})}$ 时间内求解带惩罚版本的算法，并给出了匹配的上界 $n^{O(\sqrt{k})}$。我们用以确立这些下界的主要工具是将点置于矩曲线上，其灵感来自产生高复杂度 Delaunay 复形的点集构造。