通过弱下界约束实现k-median与k-means的匿名性

我们研究带下界约束的$k$-聚类问题，包括带下界的$k$-median和$k$-means聚类。除点集$P$和中心数$k$外，带（均匀）下界的$k$-聚类问题还给定一个数字$B$。解空间被限制为每个簇至少含有$B$个点的聚类。我们展示了如何通过归约到带下界设施选址问题来近似带下界的$k$-median，后者已知具有$O(1)$-近似算法。随后我们提出一种新的带下界约束聚类问题，允许点被多次分配（至不同中心）。这意味着对每个点，聚类指定了一组其被分配到的中心。我们称之为弱下界聚类。我们给出了弱下界$k$-median聚类的$(6.5+\epsilon)$-近似，以及弱下界$k$-means的$O(1)$-近似。最后我们证明，以近似因子恒定增大为代价，可将每个点的分配次数限制为$2$（或者，若允许分数分配，则限制为$1+\epsilon$）。这也导出了首个针对带（标准）下界$k$-means的双准则近似算法，其中双准则意指下界被恒定因子违反。本文所有算法在$n$、$k$（以及所考虑的欧几里得变体中的$d$）的多项式时间内运行。