双约束公平 k-中心、k-中位和 k-均值问题的常数因子近似算法

我们研究受制于人口公平模型中两种不同公平条件组合的离散 k 聚类问题。给定度量空间 (P, d)，其中 P 中的每个点都配备受保护属性，给定数 k，目标是将 P 分割为 k 个簇，每个簇指定一个中心，以最小化中心基准函数并对以下两种公平概念进行公平分布控制：1）组公平：旨在簇中属性数量平衡，通过指定所需属性比例的下限和上限实现。2）中心多样性选择：簇具有天然代表——其中心。我们要求在指定每种属性中应选择的中心数量后，获得平衡的代表集合。Dickerson 等人（2023）将这两种约束的组合称为双约束公平聚类。他们提出算法，其保证依赖于这两种问题中已知的最佳近似因子。当前这意味着在组公平约束上存在小的加法违规，导致 8 倍近似。对于 k-中心问题，我们将此近似因子提高至 4，该保证也依赖于 Jones、Nguyen 和 Nguyen（2020）提出的 DS-公平 k-中心的最佳算法。对于 k-中位和 k-均值问题，我们提出首个常数因子近似算法。我们的算法通过基于线性规划的方法，将满足中心选择约束的解转化为双约束公平聚类解。此外，我们的结果可推广至其他中心选择约束，如矩阵族 k-聚类和背包约束。