社会公平 k-聚类的常数因子近似算法

我们研究了具有 $m$ 个组的社会公平 $(\ell_p, k)$-聚类问题的近似算法，其特例包括社会公平 $k$-中位数（$p=1$）和社会公平 $k$-均值（$p=2$）问题。我们给出：(1) 一个多项式时间 $(5+2\sqrt{6})^p$-近似，使用至多 $k+m$ 个中心；(2) 一个 $(5+2\sqrt{6}+\epsilon)^p$-近似，使用 $k$ 个中心，时间复杂度为 $n^{2^{O(p)}\cdot m^2}$；(3) 一个 $(15+6\sqrt{6})^p$ 近似，使用 $k$ 个中心，时间复杂度为 $k^{m}\cdot\text{poly}(n)$。第一个结果通过使用一系列线性规划对迭代舍入方法进行细化而得到。后两个结果通过稀疏化方法（用于(2)）和穷举搜索（用于(3)）将至多 $k+m$ 个中心的解转换为 $k$ 个中心的解而得到。我们还在基准数据集上将我们的算法与现有的双准则算法以及精确 $k$ 中心近似算法的性能进行比较，发现我们的算法在实践中也优于现有方法。