针对个体公平$k$-聚类的更优算法

我们在个体公平背景下研究具有$\ell_p$-范数目标（例如$k$-Median和$k$-Means）的数据聚类问题。数据集由$n$个点组成，我们希望找到$k$个中心，使得(a)目标被最小化，同时(b)满足个体公平约束：每个点$v$都有一个中心位于距离至多$r(v)$之内，其中$r(v)$是$v$到其第$(n/k)$近邻点的距离。Jung、Kannan和Lutz [FORC 2020]引入了该概念，并为$\ell_\infty$或$k$-Center目标设计了一种具有可证明（近似）公平性与目标保证的聚类算法。Mahabadi和Vakilian [ICML 2020]重新研究该问题，给出了针对所有$\ell_p$-范数的局部搜索算法。从经验上看，他们的算法在代价方面（对于$k$-Median和$k$-Means）大幅优于Jung等人的算法，但在公平性上产生了合理的损失。本文的主要贡献是利用线性规划(LP)技术为该问题获得更优的算法，无论在理论还是实践上。我们证明，通过改进已知的LP舍入技术，可在目标上获得远优于MV20的最坏情况保证，并且从经验上看，该目标极其接近最优。此外，我们的理论公平保证在理论上与MV20相当，而从经验上看，我们获得了明显更公平的求解方案。尽管精确求解LP可能难以承受，我们展示了在实践中，一种简单的稀疏化技术可大幅改善算法的运行时间。