改进的个人公平聚类的近似算法

我们考虑具有 $\ell_p$-范数代价的 $k$-聚类问题，其包括 $k$-中位数、$k$-均值和 $k$-中心，该问题基于 Jung 等人 [2020] 提出的个人公平概念：给定大小为 $n$ 的点集 $P$，若 $P$ 中每个点在其 $n/k$ 个最近邻中都有一个中心，则 $k$ 个中心的集合诱导出一个公平聚类。Mahabadi 和 Vakilian [2020] 针对具有 $\ell_p$-范数代价的公平聚类给出了一个 $(p^{O(p)},7)$-双准则近似：每个点找到一个中心，其距离至多为该点到其第 $(n/k)$ 近邻距离的 $7$ 倍，且解的 $\ell_p$-范数代价至多为最优公平解代价的 $p^{O(p)}$ 倍。在本工作中，对于任意 $\varepsilon>0$，我们给出了该问题的改进 $(16^p +\varepsilon,3)$-双准则近似。此外，对于 $p=1$（$k$-中位数）和 $p=\infty$（$k$-中心），我们分别给出了改进的费用近似因子 $7.081+\varepsilon$ 和 $3+\varepsilon$。为获得我们的保证，我们扩展了 [Charikar 等人, 2002, Swamy, 2016] 的框架，并设计了一个在拟阵约束下具有 $\ell_p$-范数代价的设施选址的 $16^p$-近似算法，这本身可能具有独立意义。此外，我们的方法提出了从我们的个人公平聚类到 Kleindessner 等人 [2019] 提出的群体公平要求聚类的归约，后者本质上是中位拟阵问题 [Krishnaswamy 等人, 2011]。