社会公平聚类的近似算法

我们提出了一种用于带 $\ell_p$ 目标的社交公平聚类的 $(e^{O(p)} \frac{\log \ell}{\log\log\ell})$-近似算法。在该问题中,给定度量空间中的一组点,每个点属于 $\ell$ 个组中的某一个(或某几个)。目标是找到一个对所有组同时良好的 $k$-medians、$k$-means,或更一般地,$\ell_p$-聚类。更确切地说,我们需要找到一组 $k$ 个中心 $C$,以最小化所有组 $j$ 上的 $\sum_{u \text{ in group }j} d(u,C)^p$ 的最大值。社交公平聚类问题由 Ghadiri、Samadi 和 Vempala [2021] 以及 Abbasi、Bhaskara 和 Venkatasubramanian [2021] 独立提出。我们的算法改进并推广了他们针对该问题的 $O(\ell)$-近似算法。该问题的自然 LP 松弛具有 $\Omega(\ell)$ 的积分间隙。为获得我们的结果,我们引入了一种加强的 LP 松弛,并证明其对于固定的 $p$ 具有 $\Theta(\frac{\log \ell}{\log\log\ell})$ 的积分间隙。此外,我们提出了一种双准则近似算法,推广了 Abbasi 等人 [2021] 的双准则近似。