具有多个受保护类别的公平表示聚类

我们研究公平 $k$-中位问题，其中要求每个聚类都能公平表示来自不同群体的个体。在公平表示 $k$-中位问题中，给定度量空间中一点集 $X$。每个点 $x\in X$ 属于 $\ell$ 个群体之一。此外，对每个群体 $j\in [\ell]$ 给定公平表示参数 $\alpha_j$ 与 $\beta_j$。若对每 $j\in[\ell]$ 与 $i\in [k]$，聚类 $C_i$ 中来自群体 $j$ 的点数介于 $\alpha_j |C_i|$ 与 $\beta_j |C_i|$ 之间，则称 $k$-聚类 $C_1, \cdots, C_k$ 公平表示所有群体。目标是找到 $k$ 个中心组成的集合 $\mathcal{C}$ 与分配 $\phi: X\rightarrow \mathcal{C}$，使得由 $(\mathcal{C}, \phi)$ 定义的聚类公平表示所有群体，并最小化 $\ell_1$-目标 $\sum_{x\in X} d(x, \phi(x))$。我们提出一种运行时间为 $n^{O(\ell)}$ 的 $O(\log k)$-近似算法。注意该问题的已知算法要么（i）以加性项违反公平约束，要么（ii）运行时间关于 $k$ 与 $\ell$ 均指数级。我们还考虑了该问题的一个重要特例，其中对所有 $j\in [\ell]$ 有 $\alpha_j = \beta_j = \frac{f_j}{f}$ 且 $f_j, f \in \mathbb{N}$。对此特例，我们提出一种运行时间为 $(kf)^{O(\ell)}\log n + poly(n)$ 的 $O(\log k)$-近似算法。