多样性感知的 $k$-中位数：具有公平中心表示的聚类

我们引入一个多样性感知聚类的新问题。我们假设潜在的聚类中心属于由受保护属性（如种族、性别等）定义的一组群体。接着我们要求以最小代价将数据聚为 $k$ 个簇，使得从每个群体中选定指定最少数量的聚类中心。因此我们要求所有群体均按指定要求作为聚类中心在聚类解中得到表示。更确切地说，给定客户集 $C$、设施集 $\pazocal{F}$、设施群体集合 $\mathcal{F}=\{F_1,\dots,F_t\}$（其中 $F_i \subseteq \pazocal{F}$）、预算 $k$ 以及每个群体对应的下界阈值集 $R=\{r_1,\dots,r_t\}$。\emph{多样性感知 $k$-中位数问题}要求找到 $\pazocal{F}$ 中 $k$ 个设施组成的集 $S$，使得 $|S \cap F_i| \geq r_i$（即 $S$ 中至少 $r_i$ 个中心来自群体 $F_i$），并且 $k$-中位数代价 $\sum_{c \in C} \min_{s \in S} d(c,s)$ 最小。我们证明，在设施群体可能重叠的一般情况下，多样性感知 $k$-中位数问题是 \np-hard、固定参数难处理且不可乘性因子近似的。另一方面，当设施群体互不相交时，可通过归约到\emph{拟阵中位数}与\emph{红蓝中位数}问题获得近似算法。在实验上，我们评估了可处理情形的近似方法，并针对理论难处理情形提出了一种基于松弛的启发式方法，可为真实世界数据集提供高质量且高效的求解。