个体公平聚类的新概念：$\alpha$-公平 $k$-中心

聚类是无监督机器学习中的基本问题，由于其社会影响，其公平变体近来受到显著关注。本文中我们引入一种聚类问题的个体公平新定义。具体而言，在我们的模型中，每个点 $j$ 拥有一组它认为与自身相似的其他点 $\mathcal{S}_j$，若其在解中获得的服务质量与 $\mathcal{S}_j$ 中点在乘法意义下 $\alpha$-接近（对给定 $\alpha \geq 1$），则它感到被公平对待。我们通过回答关于问题结构的问题开启研究，即对于哪些 $\alpha$ 值问题是良定义的，以及其\emph{公平代价 (Price of Fairness, PoF)} 的行为如何。对于 $\alpha$ 的良定义区域，我们为 $k$-中心目标提供高效且易于实现的近似算法，其在某些情形下享有有界 PoF 保证。最后我们通过大量实验补充分析，验证了理论结果的有效性。