公平 k-中心问题近似难度的研究

本文研究了公平 $k$-center 问题的近似难度。在该问题中，给定一个划分为多个组的度量空间中的数据点集合，任务是选择一个子集（称为中心）使得从每个组中选择预定数量的数据点，同时最小化任何点到其最近中心的最大距离。虽然已知公平 $k$-center 在一般度量空间中存在 $3$ 近似算法，但人们一直不确定这种近似保证是否紧密，或者是否可以进一步改进，尤其是由于经典的无约束 $k$-center 问题已存在因 $2$ 的近似算法。我们通过证明假设 $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$，对于任意 $\epsilon>0$，没有多项式时间算法可以将公平 $k$-center 近似到 $(3-\epsilon)$ 因子。我们的不可近似结果即使仅存在两个不相交的组且至少从每个组中选择一个中心，也成立。进一步地，这扩展到具有 $k$ 个组的标准每组一个设置中，其中必须从每个组中恰好选择一个中心。因此，公平 $k$-center 在一般度量空间中的因子 $3$ 边界是固有的，即使在这些受限情境中，现有的 $3$ 近似算法也在次要项甚至更低的水平上是最优的。这一结果与 $k$-supplier 公式形成鲜明对比，在该公式中，无论是无约束还是公平变体，都可在多项式时间内获得因子 $3$ 的近似。