欧氏 k-means 的近似硬度

欧氏 $k$-means 问题是一个经典问题，在理论计算机科学、机器学习和计算几何领域被广泛研究。该问题中，给定欧氏空间 $R^d$ 中 $n$ 个点的集合，目标是选择 $R^d$ 中的 $k$ 个中心，使每个点到其最近中心的距离平方和最小。该问题的最佳近似算法包括针对一般 $k$ 的多项式时间常数因子近似，以及运行时间为 $poly(n) 2^{O(k/\epsilon)}$ 的 $(1+\epsilon)$-近似。另一方面，该问题唯一已知的计算复杂性结果是 NP-困难 [ADHP'09]。获得硬度结果的主要困难源于问题的欧氏性质，以及 $R^d$ 中任一点都可能是潜在中心的事实。这一理解上的鸿沟留下了诱人的可能性：问题可能对所有 $k,d$ 容许 PTAS。本文给出了欧氏 $k$-means 问题的首个近似硬度。具体地，我们证明存在常数 $\epsilon > 0$，使得在 $(1+\epsilon)$ 因子内近似 $k$-means 目标是 NP-困难的。我们通过从无三角形图的顶点覆盖问题的高效归约来证明这一点：给定无三角形图，目标是选择覆盖所有边的最少顶点数。此外，我们给出了当前顶点覆盖最佳硬度结果可迁移至无三角形图的证明。为此，我们将已知硬顶点覆盖实例 $G$ 通过与适当选择的图 $H$ 取图乘积进行变换，并利用谱分析证明（归一化）最大独立集的大小在乘积图中几乎精确保留，这本身可能具有独立意义。