欧几里得 $k$-中值问题的近似硬度

欧几里得 $k$-中值问题定义如下：给定 $\mathbb{R}^{d}$ 中 $n$ 个点组成的集合 $\mathcal{X}$ 和一个整数 $k$，找到 $k$ 个点（称为中心）组成的集合 $C \subset \mathbb{R}^{d}$，使得代价函数 $\Phi(C,\mathcal{X}) \equiv \sum_{x \in \mathcal{X}} \min_{c \in C} \|x-c\|_{2}$ 最小化。欧几里得 $k$-均值问题类似定义，只需在代价函数中将距离替换为平方距离。关于欧几里得 $k$-均值问题已知各种近似硬度结果。然而，关于欧几里得 $k$-中值问题尚无近似硬度结果。在本工作中，假设唯一博弈猜想（UGC），我们给出了欧几里得 $k$-中值问题的首个近似硬度结果。此外，我们研究了欧几里得 $k$-均值/$k$-中值问题在双准则设定下的近似硬度，其中算法被允许选择多于 $k$ 个中心。即，双准则近似算法被允许输出 $\beta k$ 个中心（对于常数 $\beta>1$），且近似比相对于最优 $k$-均值/$k$-中值代价计算。在此设定下，假设 UGC，我们展示了对于任意 $\beta < 1.015$ 的欧几里得 $k$-中值问题的首个近似硬度结果。我们还展示了欧几里得 $k$-均值问题的一个类似的双准则近似硬度结果，其更强界为 $\beta < 1.28$，同样假设 UGC。