两种欧几里得 k-Center 变体的改进近似算法

$k$-Center 问题是最流行的聚类问题之一。经过数十年的研究,其在一般度量下大多数变体的复杂度现已得到充分理解。令人惊讶的是,对于实践中经常出现的自然设定,即欧几里得设定(其中输入点为 $\mathbb{R}^d$ 中的点,它们之间距离为标准 $\ell_2$ 欧几里得距离),情况并非如此。本工作中,我们研究两种欧几里得 $k$-Center 变体:实直线上的拟阵 Center 问题与鲁棒欧几里得 $k$-Supplier 问题,并给出优于已知最佳近似保证的算法。具体而言,我们提出实直线上拟阵 Center 问题的简单 $2.5$-近似算法,从而改进了 Chen、Li、Liang 和 Wang (2016) 针对一般度量工作的 $3$-近似因子算法。此外,我们提出鲁棒欧几里得 $k$-Supplier 问题的 $(1 + \sqrt{3})$-近似算法,从而改进了一般度量下鲁棒 $k$-Supplier 最先进的 $3$-近似算法,并匹配 Nagarajan、Schieber 和 Shachnai (2020) 所知非鲁棒设定下的最佳近似因子。