约束k-中心与k-供应商问题的紧FPT近似

在这项工作中，我们研究了一系列约束版本的$k$-供应商和$k$-中心问题，例如：带容量、容错、公平等。这些问题属于约束聚类的广泛框架。Ding和Xu [SODA 2015]在$k$-中位数和$k$-均值目标的背景下提出了约束聚类的统一框架。在这项工作中，我们将该框架扩展到$k$-供应商和$k$-中心目标。这个统一框架使我们能够同时获得以下约束版本$k$-供应商问题的结果：带与不带离群点的$r$-聚集、$r$-容量、平衡、染色、容错、强隐私、$\ell$-多样性和公平$k$-供应商问题。我们得到如下结果：我们分别给出约束$k$-供应商和$k$-中心问题的$3$和$2$近似算法，其$\mathsf{FPT}$运行时间为$k^{O(k)} \cdot n^{O(1)}$，其中$n = |C \cup L|$。此外，这些近似保证是紧的；即，对于任意常数$\epsilon>0$，假设$\mathsf{FPT} \neq \mathsf{W}[2]$，任何算法都无法在$\mathsf{FPT}$时间内为约束$k$-供应商和$k$-中心问题达到$(3-\epsilon)$和$(2-\epsilon)$近似保证。此外，我们在离群点设置下研究这些约束问题。我们的算法分别为约束离群点$k$-供应商和$k$-中心问题提供$3$和$2$近似保证，其$\mathsf{FPT}$运行时间为$(k+m)^{O(k)} \cdot n^{O(1)}$，其中$n = |C \cup L|$，$m$为离群点数量。