带异常点的容量约束/公平聚类的固定参数可处理近似算法

聚类问题如 $k$-Median 和 $k$-Means，其应用动机来自选址规划、无监督学习等。在此类应用中，找到在点的数量上不“偏斜”的点的聚类十分重要，即任何簇都不应包含过多点。这通过簇大小上的容量约束来建模。在另一个正交方向上，聚类中的另一个重要考量是如何处理数据中异常点的存在。事实上，这些聚类问题在文献中已被分别推广以单独处理容量约束和异常点。据我们所知，关于能同时处理容量和异常点的聚类问题可近似性的研究极少。我们开启了带异常点的容量约束 $k$-Median（C$k$MO）问题的研究。此处，我们希望将所有点中除 $m$ 个异常点外的点聚类到至多 $k$ 个簇中，使得（i）簇满足容量约束，且（ii）聚类代价（定义为每个非异常点到其指派簇中心的距离之和）被最小化。我们设计了首个针对 C$k$MO 的常数因子近似算法。具体而言，我们的算法在一般度量空间中返回 C$k$MO 的 (3+ε)-近似，在常数维欧几里得空间中返回 (1+ε)-近似，其运行时间为 $f(k, m, \epsilon) \cdot |I_m|^{O(1)}$，其中 $|I_m|$ 表示输入规模。我们还可将这些结果扩展到更广泛的问题类，包括带异常点的容量约束 k-Means/k-Facility Location，以及带异常点的尺寸均衡公平聚类问题。对其中每个问题，我们获得的近似比与对应无异常点问题的最佳已知保证相匹配。