容量约束聚类最小化簇半径和问题的 FPT 常数近似

带容量约束的聚类是一个基本问题，多年来引起了广泛关注。在本文中，我们给出了将一般度量空间中的点聚为 $k$ 个簇以最小化簇半径之和、并受非均匀硬容量约束的问题的首个 FPT 常数因子近似算法。具体而言，我们给出了一个 $(15+\epsilon)$-近似算法，其运行时间为 $2^{0(k^2\log k)}\cdot n^3$。当容量为均匀时，我们获得如下改进的近似界：一个 (4 + $\epsilon$)-近似，运行时间 $2^{O(k\log(k/\epsilon))}n^3$，这显著改进了 Inamdar 和 Varadarajan [ESA 2020] 的 FPT 28-近似；一个 (2 + $\epsilon$)-近似，运行时间 $2^{O(k/\epsilon^2 \cdot\log(k/\epsilon))}dn^3$，以及欧几里得空间中的一个 $(1+\epsilon)$-近似，运行时间 $2^{O(kd\log ((k/\epsilon)))}n^{3}$；若允许以 (1 + $\epsilon$) 因子违反容量，则在欧几里得空间中有一个 (1 + $\epsilon$)-近似，运行时间 $2^{O(k/\epsilon^2 \cdot\log(k/\epsilon))}dn^3$。我们补充了这一结果，证明若不允许任何容量违反，则不存在运行时间为 $f(k)\cdot n^{O(1)}$ 的 (1 + $\epsilon$)-近似算法。