带容量限制的半径和问题的 FPT 近似

我们考虑一般度量空间中的带容量聚类问题，目标是识别 $k$ 个簇并最小化簇半径之和（我们称之为 Capacitated-$k$-sumRadii 问题）。我们关注固定参数可解 (FPT) 近似算法，其运行时间形式为 $f(k) \cdot \text{poly}(n)$，其中 $f(k)$ 可以是 $k$ 的指数函数，$n$ 是输入点的数量。在均匀容量情况下，Bandyapadhyay 等人最近给出了一个 $4$-近似算法。我们的第一个结果将其改进为 FPT $3$-近似，并扩展到对簇半径的任何 $L_p$ 范数的常数因子近似。在一般容量版本中，Bandyapadhyay 等人给出了一个 FPT $15$-近似算法。我们扩展了他们的框架，给出了一个 FPT $(4 + \sqrt{13})$-近似算法。我们的框架依赖于一个新颖的想法，即通过从初始候选点集中仔细修剪点来识别最优簇的近似。这与先前依赖于猜测合适点并围绕它们构建适当半径球体的结果形成对比。在困难性方面，我们证明，假设指数时间假说，存在一个常数 $c > 1$，使得该问题的非均匀容量版本的任何 $c$-近似算法都需要运行时间 $2^{\Omega \left(\frac{k}{polylog(k)} \right)}$。