公平和和半径聚类的多项式时间常数近似

在一个关键性工作中，Chierichetti 等人引入了 $(t,k)$-公平聚类问题：给定一组红色点和一组蓝色点在度量空间中，若聚类中每个簇中红色点的数量最多为该簇中蓝色点的 $t$ 倍且至少为 $1/t$ 倍，则称为公平。目标是计算一个最多包含 $k$ 个簇的公平聚类，以优化某些目标函数。考虑到这一问题，他们设计了一种多项式时间 $O(1)$ 和 $O(t)$ 近似，用于 $k$-center 和 $k$-median 目标。最近，Carta 等人研究了以求和半径为目标的此问题，获得了 $(6+\epsilon)$-近似，运行时间为 $O((k\log_{1+\epsilon}(k/\epsilon))^kn^{O(1)})$，即在 $k$ 下固定参数可解。此处 $n$ 为输入规模。在本工作中，我们设计了第一个针对 $(t,k)$-公平聚类使用求和半径目标的多项式时间 $O(1)$-近似，改进了 Carta 等人的結果。我们的結果将求和半径置于与 $k$-center 相同的组别，后者允许多项式时间 $O(1)$-近似。该结果还意味着该问题的欧几里得版本也可在多项式时间内获得 $O(1)$-近似，此前由于 Drexler 等人，已知需要 $f(k)\cdot n^{O(1)}$ 时间的 $(1+\epsilon)$-近似，其中 $f$ 为 $k$ 的指数函数。我们还能够将我们的結果扩展到当 $t=1$ 时任意 $\ge 2$ 个颜色的情况。这匹配已知的 $k$-center 和 $k$-median 目标在此情况下的结果。求和半径与 $k$-center 和 $k$-median 之间的显著差异带来了若干复杂挑战，我们在工作中成功克服了这些挑战。我们的主要贡献是一种基于簇合并的分析技术，用于求和半径，从而实现常数近似界。