关于（可合并）半径和聚类问题的参数化可近似性

半径和问题（$k$-MSR）要求：给定一个 $n$ 个点的度量空间，放置 $k$ 个覆盖所有点的球，以最小化它们的半径之和。尽管从近似和参数化算法的角度进行了广泛研究，但该问题的精确参数化复杂度以及高效参数化近似方案的存在性仍然悬而未决。我们在难度和算法两个方面推进了这一理解。我们首先证明 $k$-MSR 以 $k$ 为参数是 $W[2]$-难的，从而确定了其在 $W$ 层级中的位置。此外，通过我们的归约，我们排除了高效参数化近似方案（EPAS）——即在 $f(k,\epsilon)\cdot \mathrm{poly}(n)$ 时间内运行的 $(1+\epsilon)$-近似——除非 $W[2] = FPT$。假设指数时间假设，我们进一步排除了在 $f(k,\epsilon)\cdot n^{o(k)}$ 时间内运行的此类算法，加强了该问题最近的下界。在算法方面，我们在可合并约束的框架下研究了 $k$-MSR，该框架捕获了广泛的聚类约束，包括公平性、多样性和下界。我们获得了 $\frac{8}{3}+\epsilon)$-近似的 FPT 算法，改进了先前 $(4+\epsilon)$ 的最佳保证。此外，如果可以使用合适的分配子程序，我们实现了 $(2+\epsilon)$-近似，匹配了无约束问题的最佳已知界限。这反过来为几种重要设置产生了 $(2+\epsilon)$ FPT 近似，包括 $(t,k)$-公平、$(\alpha,\beta)$-公平、$\ell$-多样性和私有聚类。