k-子集和比与k-way数字分区比的近似方案

子集和比问题(SSR)要求给定正整数多重集A,找出两个互不相交的子集,使其和之最大比最小比最小。本文研究了SSR的k版本,即k子集和比(k-SSR),旨在最小化k个互不相交子集和之最大比最小比。我们发展了一种近似方案,其时间复杂度为$O(n^{2k}/\varepsilon^{k-1})$,其中$n=|A|$,$\varepsilon$为误差参数。就已知的k>2的k-SSR首个多项式时间近似方案(FPTAS)而言,本文工作具有里程碑意义。我们也研究了k-way数字分区比(k-PART)问题,其与k-SSR的区别在于k个子集必须构成A的全部分区;该问题实质上对应于在多way数字分区问题家族中,最小化最大到最小和比的目标。我们提出了更为复杂的FPTAS,其时间复杂度同样为$O(n^{2k}/\varepsilon^{k-1})$。值得注意的是,k-PART也等价于带相同评估函数的最小嫉妒比问题,该问题曾在不可分割物品的公平分配语境中被研究。因此,对于相同评估函数的情况,我们的FPTAS相较于Nguyen和Rothe针对一般加性评估函数下最小嫉妒比问题的O(n^{4k^2+1}/\varepsilon^{2k^2})界限,实现了显著性改进。最后,我们提出一种第二种FPTAS,通过精心设计的对第一种方案的调用实现;该新方案的时间复杂性为$\widetilde{O}(n/\varepsilon^{3k-1})$,在n远大于1/\varepsilon时具有显著速度优势。