通过新旧舍入方案的大混合改进多路割的近似算法

多路割问题的输入是一个带非负边权重的无向加权图，以及 $k$ 个指定的终端。目标是将图的顶点划分为 $k$ 个部分，每个部分恰好包含一个终端，使得连接不同部分之间的边的权重之和最小化。当 $k\ge3$ 时该问题是 APX-hard。目前已知对该问题任意 $k$ 的最佳近似算法由 Sharma 和 Vondrák [STOC 2014] 在十多年前获得，近似比为 1.2965。我们给出一个改进的近似比为 1.2787 的算法。此外，对于 $k\ge4$ 的小值，我们获得了 25 年来对 Karger 等人 [STOC 1999] 获得的当前最佳近似比的首个改进。（对于 $k=3$ 已知存在最优近似算法。）我们的主要技术贡献是关于 Câlinescu、Karloff 和 Rabani [STOC 1998] 的线性规划松弛的舍入的新见解，其积分比与多路割的可近似性比一致，假设唯一游戏猜想 [Manokaran 等人，STOC 2008]。首先，我们引入 Kleinberg 和 Tardos [FOCS 1999] 提出的舍入方案的一种推广形式，并用它替换 Buchbinder 等人 [STOC 2013] 以及 Sharma 和 Vondrák 使用的指数时钟舍入方案。第二，虽然先前的算法使用来自不同舍入方案族的两个、三个或四个基本舍入方案的混合，但我们的算法使用一个计算发现的大量基本舍入方案的混合，每个由具有不同概率分布的随机变量参数化，包括特别来自同一族的许多不同舍入方案。我们使用解析技术和区间算术的组合对我们的改进算法给出了完全严格的分析。