关于 k-means 聚类的变体

\textit{聚类问题} 常出现在数据挖掘、机器学习等领域中，以根据相似性（或不相似性）度量将对象集合分组为相似组。在聚类问题中，特别是 \textit{$k$-means} 聚类受到了研究者的颇多关注。尽管 $k$-means 是一个被充分研究的问题，其在平面上的状态仍是一个开放问题。具体而言，未知其在平面上是否容许 PTAS（多项式时间近似方案）。多项式时间内已知的最佳近似界是 $9+\eps$。在本文中，我们考虑如下 $k$-means 变体。给定 $\mathcal{R}^d$ 中的点集 $C$ 和一个实数 $f > 0$，寻找 $\mathcal{R}^d$ 中的有限点集 $F$，使得量 $f*|F|+\sum_{p\in C} \min_{q \in F} {||p-q||}^2$ 最小化。对于任意固定维度 $d$，我们为此问题设计了一个局部搜索 PTAS。我们还给出了一个用于 $k$-means 的“双准则”局部搜索算法，其使用 $(1+\eps)k$ 个中心，并给出一种解，其代价至多是最优 $k$-means 解代价的 $(1+\eps)$ 倍。该算法在任意固定维度下以多项式时间运行。本文的贡献有两方面。一方面，我们能够以优雅的方式处理距离的平方，从而产生近最优近似界。这引导我们更好地理解 $k$-means 问题。另一方面，我们对局部搜索的分析也可能对其他几何问题有用。考虑到关于几何近似的局部搜索方法所知甚少，这一点很重要。