Low Dimensional Euclidean Spaces中聚类的近最优上、下界

$k$-median 和 $k$-means 聚类目标是模型化度量空间中聚类的经典目标。给定度量空间中的一组点，$k$-median（或 $k$-means）问题的目标是找到 $k$ 个代表点，以最小化每个点到其最近代表点之间的距离之和（或平方距离之和）。Cohen-Addad、Feldmann 和 Saulpic [JACM'21] 证明了如何在低维欧几里得度量中，对 $k$-median 和 $k$-means 问题获得 $(1+\varepsilon)$ 因子近似，在近线性时间 $2^{(1/\varepsilon)^{O(d^2)}} n \cdot \text{polylog}(n)$（其中 $d$ 为维数，$n$ 为输入点数）内实现。我们改进了运行时间为 $2^{\tilde{O}(1/\varepsilon)^{d-1}} \cdot n \cdot \text{polylog}(n)$，并给出几乎匹配的下界：在 3-SAT 的间隙指数时间假设下，没有 $2^{{o}(1/\varepsilon^{d-1})} n^{O(1)}$ 的算法能够实现 $k$-means 的 $(1+\varepsilon)$ 近似。