面向k-median与k-means核集的最优下界

给定度量空间中的点集，$(k,z)$-聚类问题由寻找一组称为中心的$k$个点组成，使得每个数据点到其最近中心的距离的$z$次幂之和最小。特例包括著名的k-median问题（$z = 1$）与k-means问题（$z = 2$）。$k$-median与$k$-means问题处于现代数据分析的核心，海量数据应用催生了核集（coreset）概念：输入点集的一个小规模（加权）子集，将问题的任意解代价在乘性$(1 \pm \varepsilon)$因子内保持，从而将问题输入从大规模降至小规模。本文给出了多种度量空间下核集的改进下界。在由$n$个点组成的有限度量空间与倍增常数为$D$的倍增度量空间中，我们证明$(k,z)$聚类的任意核集必须分别由至少$\Omega(k \varepsilon^{-2} \log n)$与$\Omega(k \varepsilon^{-2} D)$个点组成。两个下界均与先前上界在polylog因子内匹配。在欧氏空间中，我们证明$(k,z)$聚类的任意核集必须至少由$\Omega(k\varepsilon^{-2})$个点组成。我们以至多$\tilde{O}(k\varepsilon^{-2}\cdot \min(\varepsilon^{-z},k))$个点的核集构造补充了这些下界。