聚类核心集 VC 维数的紧致分析及其应用

我们考虑 k 聚类问题中的核心集，其中目标是分配点到中心以最小化距离的幂次。在最流行的例子中，即 k 中位数目标 $\sum_{p}\min_{c\in C}dist(p,C)$。给定点集 $P$，核心集 $\Omega$ 是一个小型加权子集，用于在所有候选解 $C$ 之间以 $(1\pm\varepsilon )$ 乘性因子近似 $P$ 的代价。在本文中，我们给出核心集构造的尖锐 VC 维数分析。作为结果，我们获得了以下指标下的改进 k 中位数核心集界限：对于平面图中的最短路径度量，核心集大小为 $\tilde{O}\left(k\varepsilon^{-2}\right)$，优于 [Cohen-Addad 等, STOC'21] 的界限 $\tilde{O}\left(k\varepsilon^{-6}\right)$ 和 [Braverman 等, SODA'21] 的界限 $\tilde{O}\left(k^2\varepsilon^{-4}\right)$；对于基于 Frechet 度量聚类长度最多为 $m$ 的 $d$ 维多边形曲线中长度为 $\ell$ 的曲线，核心集大小为 $\tilde{O}\left(kd\ell\varepsilon^{-2}\log m\right)$，优于 [Braverman 等, FOCS'22] 的界限 $\tilde{O}\left(k^3d\ell\varepsilon^{-3}\log m\right)$ 和 [Conradi 等, SoCG'24] 的界限 $\tilde{O}\left(k^2d\ell\varepsilon^{-2}\log m \log |P|\right)$。