鲁棒聚类的近最优核心集

我们考虑 $\mathbb{R}^d$ 中的鲁棒聚类问题，具体为 $k$-聚类问题（例如，带 $m$ 个离群点的 $k$-Median 和 $k$-Means，其中给定中心集 $C \subset \mathbb{R}^d$ 的代价聚合了从 $C$ 到除最远 $m$ 个数据点外所有数据点的距离，而非如经典聚类中到所有点的距离）。我们关注鲁棒聚类的 $\epsilon$-核心集，即数据集的一个小代理，对所有中心集以 $\epsilon$-相对误差保持聚类代价。我们的主要结果是大小为 $O(m + \mathrm{poly}(k \epsilon^{-1}))$ 的 $\epsilon$-核心集，可在近线性时间内构造。这显著改进了先前结果，后者要么对 $(m + k)$ 有指数依赖 [Feldman and Schulman, SODA'12]，要么有较弱的双准则保证 [Huang et al., FOCS'18]。此外，我们表明该对 $m$ 的依赖近乎最优，且其与其他因素隔离的事实可能对处理大量离群点至关重要。我们通过将近期一个为容量约束聚类设计的框架 [Braverman et al., FOCS'22] 适配到离群点设置来构造核心集，克服了代价中的参与项（特别是被排除的 $m$ 个离群点）依赖于中心集 $C$ 这一新挑战。我们在多个数据集上验证了核心集，并观察到相较于包括均匀采样和敏感度采样在内的流行基线更优的大小-精度权衡。我们还利用核心集显著加速了现有的鲁棒聚类近似算法。