MPC 与流模型下带离群点的 $k$-中心聚类

给定度量空间 $(X,dist)$ 中翻倍维数 $d$ 下大小为 $n$ 的点集 $P \subseteq X$ 以及两个参数 $k \in N$ 和 $z \in N$，带 $z$ 个离群点的 $k$-中心问题要求返回一个 $k$ 个中心的集合 $C^\ast \subseteq X$，使得 $P$ 中除 $z$ 个点外所有点到其在 $C^\ast$ 中最近中心的最大距离最小。该问题的 $(\epsilon,k,z)$-核集是一个加权点集 $P^*$，使得在 $P^*$ 上带 $z$ 个离群点的 $k$-中心问题的最优解给出在 $P$ 上带 $z$ 个离群点的 $k$-中心问题的 $(1\pm\epsilon)$-近似。我们研究在大规模并行计算（MPC）模型以及仅插入与完全动态流模型中此类核集的构造。对任意给定 $0 < \epsilon \le 1$，我们得到如下结果：所有情况下，所计算核集的大小为 $O(k/\epsilon^d+z)$。- 在 MPC 模型中，我们给出确定性 $2$-轮与随机化 $1$-轮算法。此外，我们提供在轮数 $R$ 与每机存储之间取得权衡的确定性算法。- 对于仅插入流模型，我们给出一种算法及支撑它的紧下界。- 我们也讨论允许数据流中插入与删除的动态流模型。在该模型中，我们给出首个算法与下界。- 最后，我们考虑滑动窗口模型，其中我们关注维护流中最近 $W$ 个点的 $(\epsilon,k,z)$-核集，我们给出紧下界，确认了 De Berg、Monemizadeh 与 Zhong（ESA2020）先前工作的最优性。