基于核心集的鲁棒中心型问题策略

给定度量空间中点的数据集 $V$，流行的 $k$-中心问题要求识别 $V$ 中 $k$ 个点的子集（中心），使 $V$ 中任一点到其最近中心的最大距离最小。该问题的\emph{鲁棒}形式引入额外参数 $z$，并允许在计算到中心的最大距离时忽略 $V$ 中至多 $z$ 个点（离群点）。本文关注鲁棒 $k$-中心问题的两个重要约束变体：鲁棒拟阵中心（Robust Matroid Center, RMC）问题，其中返回的中心集被约束为建立在 $V$ 上秩为 $k$ 的拟阵的独立集；以及鲁棒背包中心（Robust Knapsack Center, RKC）问题，其中每个元素 $i\in V$ 被赋予正权重 $w_i<1$，且返回中心的总权重至多为 1。我们为这两个问题设计了基于核心集（coreset）的策略，从而得到高效的顺序、MapReduce 与流算法。具体而言，对任意固定 $\epsilon>0$，算法返回具有 $(3+\epsilon)$ 近似比的解，仅比已知最优多项式时间顺序算法的 3-近似多出可忽略的加性项 $\epsilon$。此外，算法自适应于数据集的内在复杂度（由翻倍维数 $D$ 刻画）。对于参数 $k,z,\epsilon, D$ 的较宽范围，我们获得了运行时间关于 $|V|$ 线性的顺序算法，以及轮次/遍数少且本地/工作内存显著次线性的 MapReduce/流算法。