通用弱核心集

用于 $k$-means 和 $k$-median 问题的核心集（coresets）产生数据的微小摘要，其相对于任意 $k$ 个中心集保留聚类代价。近来也为约束 $k$-means 和 $k$-median 问题构建了核心集。然而，核心集概念有缺陷：（i）它们只能应用于允许输入点带权重的设置中，且（ii）在一般度量空间中，核心集大小可对数依赖于点的数量。弱核心集（weak coresets）概念对核心集要求较宽松，已在经典 $k$-means 和 $k$-median 问题背景下被研究。弱核心集是点的子集对 $(J,S)$，其中 $S$ 作为点集的摘要，$J$ 作为潜在中心集。该对满足性质：（i）只要 $k$ 个中心仅从 $J$ 中选出，$S$ 就是数据的良好摘要；（ii）$J$ 中存在代价接近最优代价的 $k$ 个中心的良好选择。我们发展了该框架，称之为通用弱核心集，用于约束聚类设置。结合近期针对约束设置的核心集构造，我们的设计给出了更大的数据压缩、概念上更简单，并适用于广泛的约束 $k$-median 和 $k$-means 问题。