一致采样对于核集的功效

受经典 $k$-中位数与 $k$-均值目标的实用推广(如带容量约束的聚类、公平聚类与Wasserstein重心)的推动,我们引入一个用于设计约束聚类问题核集的元定理。该元定理将核集构造任务归约为在有限个环实例上、具有高度松弛加性误差的相应任务。这一归约使我们能够使用一致采样(而非广泛使用的Importance Sampling)构造核集,从而可轻松处理约束目标。值得注意的是且或许令人惊讶地,这一更简单的采样方案可产生大小与 $n$(输入点数)无关的核集。我们的技术为大量约束聚类问题(包括带容量聚类、公平聚类、欧氏Wasserstein重心、排除子图类中的聚类,以及基于Fréchet与Hausdorff距离的多边形聚类)给出了更小的核集,有时是首个核集。最后,我们的技术也为低维欧氏空间中的 $1$-中位数给出了更小的核集,具体为在 $\mathbb{R}^2$ 中大小 $\tilde{O}(\varepsilon^{-1.5})$、在 $\mathbb{R}^3$ 中大小 $\tilde{O}(\varepsilon^{-1.6})$。